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By Prof. Dr. Lars Grüne, Prof. Dr. Oliver Junge (auth.)

Das Buch bietet eine kompakte und grundlegende Einführung in die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen aus der Perspektive der dynamischen Systeme im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Über die Diskussion der grundlegenden Lösungstheorie und der Theorie linearer Systeme hinaus werden insbesondere analytische und numerische Lösungsverfahren, grundlegende Konzepte der Theorie dynamischer Systeme, Stabilität, Verzweigungen und Hamilton-Systeme behandelt. Der Stoff wird durchgängig anhand von Beispielen, Übungsaufgaben und Computerexperimenten illustriert und vertieft.

Das Buch ist besonders für das Bachelor-Studium intestine geeignet, sowohl vorlesungsbegleitend zum Modul "Gewöhnliche Differentialgleichungen" für Studierende im three. Semester als auch zum Selbststudium.

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4: Unm¨ ogliche Konstellation zweier sich schneidender L¨ osungen einer Differentialgleichung Autonome Differentialgleichungen. 3) betrachten. In diesem Fall gilt, dass jede L¨osung mit verscho” benem“ Zeitargument der Form x(t − t0 ; 0, x0 ) das Anfangswertproblem mit Anfangsbedingung (t0 , x0 ) l¨ost, wegen der Eindeutigkeit folgt also x(t − t0 ; 0, x0 ) = x(t; t0 , x0 ). F¨ ur autonome Gleichungen lassen sich also alle L¨osungen durch einfaches Verschieben des zeitlichen Arguments aus der L¨osung mit Anfangszeit t0 = 0 berechnen!

F¨ ur ψ erh¨alt man daraus ψ(t) ≤ α + βφ(t) ≤ α + αeβ(t−t0 ) − α = αeβ(t−t0 ) , also die Behauptung. Lipschitz-Stetigkeit im Anfangswert. Die St¨arke des GronwallLemmas liegt darin, dass eine implizite Integralungleichung, in der die Funktion ψ auf beiden Seiten auftritt, in eine explizite Ungleichung f¨ ur ψ umgewandelt wird. Dies ist genau das richtige Hilfsmittel, um die Lipschitz-Stetigkeit der Funktion x(t; t0 , x0 ) in x0 zu beweisen. 6. Dann ist jede L¨osung x(t; t0 , x0 ) f¨ malen Existenzintervall It0 ,x0 stetig im Anfangswert x0 .

Mit x(0) = (a, b, c)T f¨ Hinweis: Bestimmen Sie zuerst x3 (t). 6: Es sei g : R → Rd eine stetige Abbildung mit limt→∞ g(t) = 0. Zeigen Sie, dass alle L¨osungen der d-dimensionalen inhomogenen linearen Differentialgleichung x˙ = −x + g(t) f¨ ur t → ∞ gegen Null konvergieren. KAPITEL 3 L¨ osungstheorie In diesem Kapitel besch¨aftigen wir uns mit der Existenz und Eindeutigkeit von L¨osungen gew¨ohnlicher Differentialgleichungen der Form x˙ = f (t, x). h. f ist definiert f¨ ur jedes Paar (t, x) ∈ D. Im einfachsten Fall ist f global definiert, also D = R × Rd .

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