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By Manfred Dobrowolski

In diesem Lehrbuch werden die Methoden der Funktionalanalysis mit ihren Anwendungen in der Theorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Gleichzeitig werden dem Leser die analytischen und funktionalanalytischen Sätze näher gebracht, die für die numerische Approximation elliptischer (und anderer) Differentialgleichungen bedeutsam sind. Neben dem klassischen Stoff der linearen Funktionalanalysis werden daher ausführlich die Sobolevschen Funktionenräume (auch von negativer und gebrochener Ordnung) sowie die Existenz- und Regularitätstheorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Besonderer Wert wird auf die Umsetzung der Funktionalanalysis gelegt, additionally der Anwendung der abstrakten Theorie auf den konkreten Fall. Dies geschieht durch eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen. Zahlreiche sorgfältig ausgewählte und kommentierte Aufgaben runden die Darstellung ab.

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Eine h¨older- oder lipschitzstetige Funktion ist gleichm¨ aßig stetig. 15) ist gegeben durch |u|C α = sup x=y |u(x) − u(y)| . 40. C m,α (Ω), m ∈ 0 , 0 < α ≤ 1 ist der Unterraum der Funktionen in C m (Ω), deren Ableitungen von der Ordnung ≤ m h¨olderstetig mit Exponent α bzw. lipschitzstetig sind. Auf C m,α definieren wir die Ausdr¨ ucke u C m,α = u m,∞ + max |Dγ u|C α . |γ|=m Im folgenden setzen wir C m,0 = C m und haben damit die C m,α -R¨aume f¨ ur alle m ∈ 0 und 0 ≤ α ≤ 1 erkl¨ art. 41. C m,α (Ω) ist Banach-Raum unter der Norm · C m,α .

Auf C m (Ω) definieren wir u m,∞ = u m,∞;Ω 0 = max sup |Dα u(x)|. |α|≤m x∈Ω Man kann eine Funktion u in C (Ω) auf eindeutige Weise zu einer auf Ω stetigen Funktion fortsetzen. Ist n¨ amlich x ein Randpunkt von Ω und (xk ) eine Folge in Ω, die gegen x konvergiert, so ist (xk ) insbesondere eine CauchyFolge und aus der gleichm¨ aßigen Stetigkeit von u folgt, daß auch (u(xk )) eine Cauchy-Folge ist, die einen Grenzwert u(x) besitzt. Dieser Grenzwert ist offenbar unabh¨angig von der gew¨ ahlten Cauchy-Folge.

13. Sei X ein normierter -Vektorraum und M ein Unterraum von X. Ferner sei f : M → linear und stetig. Dann existiert ein F ∈ X ′ mit F |M = f und F X→ = f M→ . Beweis. F¨ ur p(x) = x X f M→ wenden wir den letzten Satz an. F¨ ur die Fortsetzung F gilt dann |F x| ≤ x X f M→ , also F ≤ f . Die umgekehrte Richtung F ≥ f ist klar. 3 Hahn-Banach-S¨ atze 49 ¨ Nach unseren bisherigen Uberlegungen ist nicht klar, wie reichhaltig der Dualraum ist, insbesondere, ob es zu allen x = y ein f ∈ X ′ gibt mit f (x) = f (y).

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