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Die Idee zur Konstruktion einer Teilfolge (fnk ), die bei allen xj punktweise konvergent ist, erinnert stark an den Beweis des Charakterisierungssatzes kompakter Teilmengen des Kn : • Betrachte fn (x1 ) n∈N . Das ist, da Φ beschr¨ankt ist, eine beschr¨ankte Folge in K . Also gibt es eine konvergente Teilfolge fnk1 (x1 ) k1 ∈N . • Betrachte fnk1 (x2 ) k1 ∈N . Das ist wieder eine beschr¨ankte Folge, folglich kann man eine konvergente Teilfolge fnk2 (x2 ) k2 ∈N finden; man beachte, dass auch fnk2 (x1 ) k ∈N als Teilfolge der konvergenten Folge fnk1 (x1 ) k ∈N 2 1 konvergiert.

Es ist dann klar, dass K1 ⊃ K2 ⊃ · · · . Es gibt aber kein Element aus M , das in allen Kn liegt, damit ist das gesuchte Gegenbeispiel gefunden. 2. Durch den Satz wird Vollst¨ andigkeit sogar charakterisiert: Gilt in einem metrischen Raum (M, d) der Cantorsche Durchschnittssatz, so ist M vollst¨andig. Beweisidee: Sei (xn ) eine Cauchy-Folge in M . Suche ein n1 , so dass f¨ ur n, m ≥ n1 die Ungleichung d(xn , xm ) ≤ 1/2 gilt und setze K1 := K1 (xn1 ). ur die n, m ≥ n2 . Die Bestimme dann ein n2 > n1 mit d(xn , xm ) ≤ 1/22 f¨ zweite Kugel ist K2 := K1/2 (xn2 ).

Diese Ergebnisse kommen in sehr vielen schwierig zu beweisenden S¨atzen zur Anwendung, einige Beispiele dazu finden Sie im n¨ achsten Abschnitt. ¨ KAPITEL 5. FUNKTIONENRAUME 26 Vorbereitend gibt es einen kurzen Exkurs zur Vollst¨andigkeit . Diesen Begriff hatten wir in Band 1 nur f¨ ur den Skalarenk¨orper verwendet. Da die Definition aber nur voraussetzt, dass man weiß, was Cauchy-Folgen sind, kann sie sofort auf beliebige metrische R¨ aume u ¨ bertragen werden: vollst¨ andig Ein metrischer Raum (M, d) heißt vollst¨andig, wenn jede CauchyFolge in M konvergent ist.

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